rene vidal garcia montoya

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PROF. RENí‰ VIDAL

LAS IRONí�AS DEL DESTINO

Se desarrollaba un congreso médico en Klangenfurt, Alemania. El doctor Joseph Stehle, oriundo de la ciudad de Munich, Alemania, y célebre cardiólogo, estaba dando una conferencia. Su tema era «El infarto cardí­aco y su prevención». El doctor Stehle era un perito en la materia. Habí­a dedicado toda su ciencia a la cura y prevención de las enfermedades cardí­acas, y su especialidad era precisamente la prevención del infarto cardí­aco.

En cierto momento de su conferencia, ante cientos de cardiólogos, mientras describí­a los sí­ntomas clísicos del ataque al corazón, el cientí­fico se puso la mano derecha crispada sobre el pecho e inclinó el cuerpo hacia el lado izquierdo. Sus anteojos cayeron al suelo y su rostro se contrajo en una mueca, como quien siente un fuerte dolor. El auditorio pensaba que el doctor Stehle estaba haciendo una demostración grífica del infarto. Pero la verdad era que el cardiólogo estaba en ese momento sufriendo un infarto él mismo.

Cayó al suelo ruidosamente arrastrando las notas de su conferencia, y cuando los demís especialistas trataron de auxiliarlo, el doctor Stehle ya habí­a pasado a la eternidad.

¡Cuíntas veces nos ocurre algo parecido a nosotros! Cuando estamos mís tranquilos, mís confiados, mís seguros de nuestra ciencia y de nuestros conocimientos, mís seguros de nuestra posición social y de nuestra fortuna, mís seguros de nuestra fuerza fí­sica y de nuestra salud, uno de esos imprevisibles golpes del destino nos quita todo.

La vida, la salud y la fortuna no son seguros para nadie. Quien vive en este mundo se pasea al borde de la muerte. Los que sueñan con prolongar indefinidamente su vida, su bienestar y su capacidad de gozar de placeres, se equivocan fatalmente. La muerte nos acecha a cada minuto demostríndonos lo frígil que es nuestra existencia.

CONSEJOS PARA CONFECCIONAR UN BUEN CURRí�CULUM VITAE

Necesita dos tipos de información para preparar su currí­culum:

1. Información sobre su persona. La confección de una lista con su experiencia y antecedentes laborales le darí la información necesaria sobre su persona para preparar el currí­culum.

• En caso de que haya trabajado anteriormente, enumere sus empleos. Luego escriba las tareas especí­ficas para cada uno de los empleos que ha incluido en la lista. A continuación, piense en las habilidades o aptitudes que necesitó para llevar a cabo cada tarea. Escrí­balas.
• Haga una lista de sus aficiones, los clubes a los que pertenece, los deportes en los que ha participado, las actividades escolares y religiosas y demís cosas que le interesen. Concéntrese en el primer punto de su lista. Piense en las habilidades o aptitudes que necesita para llevar a cabo ese punto. Escrí­balas.
• Observe las aptitudes (habilidades) mencionadas en su lista de experiencia y antecedentes laborales. Usted estí dotado de talentos que usa todos los dí­as. Ahora, trate de buscar EMPLEOS en los cuales pueda poner en príctica dichos talentos.
• No se ponga lí­mites. Lo importante no es el puesto de trabajo en sí­, sino las aptitudes y habilidades que se requieren para el empleo.

2. Información sobre el empleo. Recolecte información especí­fica sobre el empleo para el que se postula. Lo que necesita es:

• Tareas del empleo (para comparar sus habilidades con las habilidades necesarias para el empleo). Busque esta información en el anuncio de vacantes. En caso de que el anuncio o aviso no sea claro, llame al empleador y solicite una descripción de las tareas que implica el empleo.
• Educación y experiencia requerida (una vez mís, a fin de que usted pueda comparar su educación y experiencia con la requerida para el empleo).
• Horarios y turnos de trabajo.
• Pago aproximado (indique que lo mí­nimo aceptable es la oferta míxima que hace el empleador).

Selección de información para su currí­culum vitae

La mejor forma de seleccionar la información mís apropiada para su currí­culum es pensar como empleador. Pregúntese: Si tuviera que contratar a una persona para este puesto, ¿qué tipo de capacitación y experiencia buscarí­a? Proporcione información positiva, especí­fica y breve que le pueda resultar interesante al nuevo empleador. Evite la información negativa o irrelevante.

Un currí­culum vitae estíndar debe incluir...

Información de contacto

Proporcione al empleador su nombre completo, domicilio, número de apartamento, ciudad, estado, código postal y número de teléfono (incluya el código de írea).

Objetivos del empleo

Informe al empleador el empleo especí­fico en el que estí interesado. Puede expresarlo, por ejemplo, diciendo un puesto administrativo de nivel inicial , un puesto de atención al público en la industria minorista o un puesto en fabricación a fin de poner en príctica mis cinco años de experiencia en control de calidad .

Evite las expresiones poco claras, tales como un puesto con potencial de crecimiento o un puesto que me presente desafí­os en una compañí­a estable . Recuerde que debe ser simple y conciso.

Resumen de cualidades

Informe al empleador sus puntos fuertes en no menos de 3 lí­neas ni en mís de 5. Sea breve; resuma; dé hechos, no opiniones. (Esta sección es opcional)

Experiencia o antecedentes laborales

Informe al empleador su experiencia laboral por puestos de trabajo y fechas de empleo o bien por funciones y habilidades. Mís adelante en la publicación encontrarí esquemas y ejemplos de currí­culum, los cuales le ayudarín a decidir el mís apropiado para usted.

Educación

Informe al empleador sobre cualquier tipo de educación o capacitación recibida relacionada con el trabajo. En primer lugar, mencione la última capacitación que recibió.

En caso de que se haya graduado recientemente y no tenga mucha experiencia laboral, puede mencionar la siguiente información antes de sus antecedentes laborales: el nombre de la escuela, el tí­tulo o certificado que recibió, fechas, nombres de los cursos relacionados con los objetivos del empleo, becas, menciones, calificaciones y actividades extracurriculares.

Si cuenta con una experiencia laboral de mís de cinco años, no es necesario dar demasiada información sobre su educación. Nombre la escuela, ciudad, estado, tí­tulo o certificado o cursos realizados y fechas (las fechas son opcionales).

Incluya sus estudios secundarios, excepto si tiene un tí­tulo superior. No incluya su educación primaria ni la del colegio al que asistió desde los 12 a los 14 años.

Experiencia militar

Informe al empleador la rama de servicio en que se desempeñó, el rango míximo que obtuvo, el motivo de baja y la fecha de separación. Mencione todo tipo de nombramientos especiales, tareas, autorizaciones, tareas circunstanciales y condecoraciones que guarden relación con el empleo que procura obtener. La capacitación militar técnica se puede mencionar bajo el tí­tulo Educación en el currí­culum. (Solamente se debe incluir el tí­tulo Experiencia Militar en caso de que cuente con dicha experiencia.)

Aptitudes y habilidades especiales

Informe al empleador sobre cualquier otro aspecto que le parezca que le pueda ser de utilidad. (Esta sección es opcional.) Puede incluir información sobre conocimiento de lenguas extranjeras, actividades voluntarias o recreativas, pertenencia a organizaciones profesionales, habilidades especiales, tales como mecanografí­a, computación, míquinas que sabe operar y licencias o certificados que posee. No proporcione información personal como edad, sexo, estado civil o incapacidades.

Referencias

Simplemente diga al empleador las referencias estín a su disposición si las requiriera o con mucho gusto se le proporcionarín referencias si las requiriera . No mencione las referencias en el currí­culum, téngalas mecanografiadas en una hoja aparte y proporcióneselas al empleador si éste las solicita. Deberí­a contar con una lista de tres a cinco referencias, que sean personas que lo conozcan y sepan el trabajo que usted hace; no deben ser familiares. Asegúrese de contar con el permiso de cada una de estas personas para usarlas como referencia.

Esquemas y ejemplo de currí­culum vitae

En las siguientes píginas encontrarí esquemas y ejemplos de dos de los currí­culum bísicos mís comunes.

En el ejemplo 1 se enumera cada empleo en forma separada, comenzando por el mís reciente y mencionando los demís en orden cronológico hacia atrís. Se proporciona información especí­fica sobre cada empleo.

Currí­culum vitae 1: Esquema y ejemplo

En el ejemplo 2 se mencionan de 3 a 5 íreas de habilidades o funciones llevadas a cabo que guarden relación con los objetivos del empleo que desea obtener, junto con una breve reseña del trabajo realizado dentro de cada írea. No se le da mucha importancia al lugar ni a la fecha en que realizó las actividades.

Currí­culum vitae 2: Esquema y ejemplo

Carta de presentación

Muchos empleadores prefieren que el currí­culum se enví­e por correo con una carta de presentación. Esta carta se denomina carta de introducción o de presentación. Dicha carta debe informar al empleador el puesto en el que usted estí interesado y las razones por las cuales estí calificado para dicho puesto.

Debe ocupar de 1/3 a 2/3 de una hoja de 8.50 x 11 pulg. y el papel debe ser del mismo tamaño, color y calidad que el papel de su currí­culum. Preferentemente escriba su carta de presentación en una computadora, un procesador de textos o una míquina de escribir. Puede ocurrir que una parte de la información incluida en su carta también esté en su currí­culum; se puede repetir información. Asegúrese de que la carta no contenga errores de puntuación, gramítica u ortografí­a. Trate de que otra persona se la corrija antes de enviarla por correo.

Esquema de carta de presentación

Carta de solicitud de empleo: Una alternativa diferente del currí­culum vitae

En algunas situaciones, un currí­culum tradicional puede no ser la mejor forma de comunicarse con un empleador. Según las preferencias del empleador, el campo de trabajo y sus cualidades y capacitación, puede utilizar una carta de solicitud de empleo.

Es una carta personal que usted escribe al empleador para informarle el puesto en el que usted estí interesado y las razones por las cuales estí calificado para ese puesto. Debe ocupar de 1/2 a 2/3 de una hoja de 8.50 x 11 pulg. de papel de carta blanco o de color claro. No debe contener errores. Trate de que la revise otra persona para asegurarse de que esté impecable antes de enviarla por correo.

A continuación encontrarí un esquema y un ejemplo de una carta de solicitud de empleo.

Carta de solicitud de empleo: Esquema y ejemplo

Lista de verificación del currí­culum vitae

 Utilice de 1 a 2 píginas de papel de 8.50 x 11 pulg.

 Elija papel color marfil, blanco, crema, beige o gris claro.

 Utilice computadora, procesador de textos, míquina de escribir o tipografí­a.

 Mantenga mírgenes laterales e inferiores de 1 pulg. de ancho.

 Controle y corrija los errores de gramítica, imprenta, puntuación y ortografí­a.

 Escriba enunciados cortos y concisos.

 Debe ser breve; escriba un resumen, no una historia de vida.

 Utilice frases cortas que comiencen con verbos para demostrar los logros y los resultados.

 Proporcione información positiva y verdadera.

 Utilice un estilo profesional, simple y fícil de leer.

 Trate de que otras personas lo revisen para asegurarse de que esté en perfectas condiciones.

 Evite la información personal, tal como la altura, el peso, la edad, el sexo o el estado civil.

 Subraye o utilice mayúsculas para enfatizar la información importante, pero no abuse de este recurso.

 No mencione salarios, domicilios de las compañí­as, referencias, requisitos salariales ni problemas personales.

 Provea ejemplos de sus cualidades.

 Mire su currí­culum desde la perspectiva de un empleador y pregúntese a usted mismo: Si yo fuera empleador, ¿desearí­a entrevistar a esta persona?

Formularios de solicitud

Para algunos empleos se exige siempre un currí­culum y para otros, sólo en ciertos casos. Un empleador le puede pedir que complete un formulario de solicitud en lugar de entregar un currí­culum. En algunos casos, un empleador le puede solicitar que complete un formulario de solicitud ademís de entregar un currí­culum.

Al completar un formulario de solicitud, asegúrese de llenar todos los campos y de seguir todas las instrucciones. Proporcione la información solicitada en forma completa y asegúrese de que sea correcta.

Planilla del currí­culum vitae

Paso 1: Lea este folleto.

Paso 2: Revise los ejemplos proporcionados en esta publicación.

Paso 3: Corte esta planilla y complétela.

Paso 4: Confeccione su currí­culum utilizando la información de la planilla.

Paso 5: Controle que no tenga errores. Désela a otra persona para que la revise.

Paso 6: Confeccione su currí­culum por medio de un procesador de textos, una míquina de escribir o tipografí­a.

Paso 7: Su currí­culum ya estí listo. Ahora ¡íšSELO!

Nombre completo ______________________________________________

Domicilio ______________________________________________

Ciudad / Estado / Código Postal ______________________________________________

Teléfono (con código de írea) ______________________________________________

OBJETIVO DEL EMPLEO (opcional) ______________________________________________

RESUMEN DE CUALIDADES ______________________________________________

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EXPERIENCIA LABORAL: Comience por los empleos mís recientes.

1. Puesto de trabajo:

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Tareas del empleo / logros:

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Nombre de la compañí­a: ______________________________________________

Ciudad, estado: ______________________________________________

Fechas de empleo (año de comienzo, año de finalización): ______________________________________________

2. Puesto de trabajo:

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Tareas del empleo / logros:

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Nombre de la compañí­a: ______________________________________________

Ciudad, estado: ______________________________________________

Fechas de empleo (año de comienzo, año de finalización): ______________________________________________

3. Puesto de trabajo:

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Tareas del empleo / logros:

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Nombre de la compañí­a: ______________________________________________

Ciudad, estado: ______________________________________________

Fechas de empleo (año de comienzo, año de finalización): ______________________________________________

APTITUDES Y HABILIDADES ESPECIALES: ______________________________________________

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EDUCACIí“N:

Escuela técnica y / o universidad: ______________________________________________

Ciudad, estado: ______________________________________________

Fechas de asistencia: ______________________________________________

Tí­tulo / certificado o cursos realizados: ______________________________________________

Escuela secundaria: ______________________________________________

Ciudad, estado: ______________________________________________

Fechas de asistencia: ______________________________________________

Diploma o cursos realizados: ______________________________________________

EXPERIENCIA MILITAR: (opcional y si no lo ha mencionado en otro lugar del currí­culum)

Rama de servicio: ______________________________________________

Rango míximo: ______________________________________________

Motivo de baja: ______________________________________________

Año de separación: ______________________________________________

Tareas: ______________________________________________

OTRAS EXPERIENCIAS LABORALES: Mencione puestos de trabajo a los que desee hacer referencia sin proporcionar demasiados detalles; por ejemplo, empleos temporarios o de tiempo parcial, trabajos voluntarios, etc.

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10 consejos para confeccionar un currí­culum vitae eficaz

1. En lo posible, use una computadora para preparar su currí­culum. Hay programas de computación que le facilitan la confección del currí­culum a fin de que luzca profesional. También le pueden proporcionar asistencia el Wisconsin Job Center, las escuelas, las bibliotecas o las tiendas de impresión rípida de su localidad.
2. Evite incluir información personal irrelevante (edad, peso, altura, estado civil, etc.).
3. No incluya salarios ni remuneraciones.
4. Centre o justifique todos los tí­tulos. No utilice abreviaturas.
5. Sea positivo. Identifique los logros.
6. Utilice verbos. Si desea obtener mís información, lea la publicación Las palabras correctas que debe utilizar en su búsqueda de trabajo ( The Right Words to Use in Your Job Search ) (DWSJ-9463-P).
7. Sea especí­fico. Exprésese con oraciones concisas. El currí­culum debe ser corto (lo óptimo es que sea de una pígina).
8. Asegúrese de que el currí­culum tenga un buen aspecto (prolijo y legible).
9. Corrija el original minuciosamente. Trate de que otra persona también revise el original en detalle.
10. Controle que las fotocopias sean claras y no tengan manchas ni marcas.a

El currí­culum vitae electrónico y el servicio de America’s Talent Bank

Una vez que haya recolectado la información para su currí­culum, puede introducirlo en bases de datos como un currí­culum electrónico.

Los currí­culum electrónicos son bases de datos en las que se pueden buscar currí­culum o información sobre la competencia de personas que buscan empleo. Los empleadores realizan búsquedas en este tipo de bases de datos y seleccionan un grupo de currí­culum para luego estudiarlos.

En Wisconsin, usted puede colocar su currí­culum en Wisconsin.gov, un servicio que se encuentra a su disposición y al que puede acceder por medio de las oficinas del Wisconsin Job Center de su localidad o por medio de cualquier computadora con acceso a Internet.

Un currí­culum confeccionado cuidadosamente, permite (siempre que se cumpla una buena parte de los requisitos solicitados) entrar en el proceso de selección. Si estí mal elaborado o mal presentado, es posible que disminuyan las posibilidades de los/as candidatos/as, incluso idóneos/as y bien preparados/as. Por ello es muy importante seguir unas normas bísicas en su elaboración:

·  No dar nunca información que nos pueda perjudicar. La información positiva se debe reflejar claramente, si bien toda aquella que posea connotación negativa debe suprimirse (lo que en ningún caso debe significar mentir o falsear datos).

·  No es tan importante lo que se dice sino cómo se dice, es decir, la forma llega a equipararse en valor al contenido.

A continuación se detallan los distintos apartados que debe contener un buen C.V.:

Datos Personales:

Los datos personales, nos individualizan e identifican dentro de un grupo. Son necesarios para que puedan contactar con nosotros. Este apartado encabezarí tu C.V. y en él figurarín:

·  Nombre y apellidos

·  Dirección completa (sin olvidar el código postal)

·  Teléfono/s de contacto

·  E-mail

Existen otros datos como la edad, el estado civil, el lugar de nacimiento… que se pueden facilitar en un primer contacto, salvo que se soliciten expresamente o bien consideremos que puedan potenciar nuestra candidatura.

Formación Académica:

En este bloque aparecerín todos los datos relacionados con tu formación (titulación, cursos, seminarios…) en orden cronológico.

Si tienes conocimientos especí­ficos sobre alguna materia debes hacerlos constar. Interesa saber en qué conocimientos o materias te has especializado y si es posible, qué tiempo has invertido en ello.

Relaciona los seminarios o las jornadas a las que has asistido sólo si estimas que pueden ser de interés para el receptor o van a ser baremados. En caso contrario, trata de resaltar sólo la utilidad que te hayan reportado.

Debes incluir tu paso por una Universidad extranjera si has participado en un programa de intercambio internacional de estudiantes

Idiomas

Indica las lenguas extranjeras que conoces y el nivel (escrito, leí­do y hablado) que dominas de cada una. Ten en cuenta, a la hora de reflejarlo, que no se solicitan candidatos/as con niveles bajos de idiomas, por lo que no es conveniente hacer constar lo que no dominamos.

Si posees algún tí­tulo que acredite tu nivel de conocimientos y es reciente, es conveniente que lo reflejes.

Informítica

En este apartado debes detallar los programas que sabes usar, así­ como el nivel de conocimientos que tienes sobre ellos (nivel de usuario, profesional o programador).

Experiencia Profesional

Debes reflejar toda la experiencia (incluidos trabajos no remunerados, perí­odos de voluntariado, prícticas…) relacionada con el puesto al que estés optando y detallar las funciones desarrolladas de mayor interés.

Si tienes un historial profesional muy extenso, te conviene destacar sólo la experiencia mís relevante y resaltar aquellas actividades que mís denoten habilidades y cualidades necesarias para el puesto en cuestión.

Si por el contrario, tu experiencia es escasa o nula, expresa las funciones o tareas para las que estís capacitado/a.

Puedes reflejar tus datos profesionales de forma esquemítica incluyendo para cada experiencia:

·  Nombre de la Empersa

·  Funcion/es Desarrollada/s

·  Duración

Datos de interés

Este apartado es opcional y su contenido estarí en función de las condiciones del puesto de trabajo al que estés optando.

Puedes incluir datos adicionales que no hayas reflejado en ninguno de los apartados anteriores y consideres relevantes o creas que favorezcan tu candidatura, como podrí­an ser: estancias en el extranjero, movilidad, disponibilidad, carné de conducir, aficiones…

Bísicamente existen tres tipos de c.v.:

C.V. CRONOLí“GICO

Muestra los acontecimientos de la persona ordenados en el tiempo, por fechas. Este orden puede ir de lo mís lejano a lo mís reciente o al contrario (c.v. cronológico inverso).

Es el tipo mís empleado y el mís adecuado para poner de relieve la progresión profesional. Sin embargo no es el mís recomendable para personas que han pasado largos perí­odos de tiempo en desempleo o para las que han cambiado de trabajo con mucha frecuencia.

C.V. FUNCIONAL

Presenta la experiencia agrupada por funciones, logros o sectores de actividad. Pone de manifiesto las capacidades adquiridas a lo largo del tiempo, que se ordenarín en función del puesto al que se opta.

Es mís difí­cil de elaborar que el anterior, pero “disimulaâ€� los cambios frecuentes de trabajo y los largos perí­odos de desempleo.

C.V. COMBINADO

Es, como su nombre indica, una combinación de los dos anteriores. Empieza como el c.v. funcional y sigue como el cronológico. Presenta las ventajas de ambos y permite adaptar el c.v. en función del puesto al que se opta, resaltando aquellas capacidades y logros que nos parezcan mís relevantes para el mismo.

Independientemente del tipo de c.v. que escojas, a la hora de elaborarlo debes tener siempre en cuenta una serie de precisiones:

·  Tu currí­culum debe ser breve y ocupar en la medida de lo posible sólo una pígina, y en cualquier caso no mís de dos. No debe llevar portada ni contraportada.

·  Debe ser claro, conciso y concreto.

·  Debes adaptarlo a cada puesto al que optas y ofrecer la información de forma estructurada y orientada a hacia las caracterí­sticas del mismo, e intenta resaltar lo que esa empresa necesita y tú puedes aportar.

·  Utiliza formas impersonales a la hora de redactarlo.

·  No es conveniente que utilices fotos de mala calidad ni fotocopias.

·  Remite originales, cuida la presentación y revisa la ortografí­a antes de enviarlo.

·  Emplea papel de calidad y formato Din A4.

·  No incluyas en tu c.v. nada de lo que no te apetezca hablar. La persona que te entreviste te harí preguntas sobre lo que aparezca en él.

LA VIDA POR LA TELEVISIí“N

Para Karl Peters, joven de veintiséis años de edad, el dí­a soñado habí­a llegado. No era el dí­a de su graduación, ni era el de su boda. Era el dí­a en que presentarí­an su programa favorito de televisión.

Karl encendió el televisor y se fue a la cocina para prepararse un sandwich, pero con el cuchillo se hizo un profundo tajo en la mano, cortíndose cuatro dedos casi hasta el hueso. Rípidamente se envolvió la mano en una toalla, la metió dentro de un balde con agua, y se acomodó para mirar su programa. Allí­ mismo lo encontraron muerto, desangrado, con la mano en el balde y el programa todaví­a viéndose en la pantalla. Todo eso sucedió en Wetzlar, Alemania Occidental.

Karl era un adicto a la televisión. Se pasaba horas enteras frente al aparato. Veí­a programas cómicos, cientí­ficos, artí­sticos, truculentos, dramíticos, terrorí­ficos, musicales, fuera cual fuera el género. Frente al televisor, mirando algún programa que le gustaba, se volví­a inconsciente. Esta vez su programa le interesó tanto que quedó absorto en él, a tal grado que se despreocupó de todo y se fue desangrando lentamente hasta quedar muerto. El balde quedó lleno de la sangre de Karl; la mente de Karl, saturada de las últimas escenas; y la habitación, colmada de las luces y sonidos del aparato.

Este hombre no es el único que se desangra frente al televisor. Hay miles de personas que han hecho de la televisión la pasión de su vida. Encienden el aparato temprano en la mañana y no lo apagan sino hasta altas horas de la noche. Durante todo el dí­a ven escenas de violencia, de crimen, de sexo, de perfidia, de estupidez, de locura, de lujuria. Miran y oyen sin descanso, y el subconsciente archiva las imígenes y las palabras. Así­ tanto niños como jóvenes y adultos â€�hombres y mujeresâ€� se desangran ante la pantalla mígica, orgullo de la tecnologí­a moderna.

La televisión no es mala en sí­. Puede ser un vehí­culo de gran cultura, que inculca conocimientos cientí­ficos y contribuye a la formación moral y espiritual de la sociedad. Pero se convierte en un medio que destruye la mente cuando transmite programas mórbidos a los que la gente se vuelve adicta.

Nuestra mente es una computadora. Si entra información dañina, nuestra vida se desmejorarí en todos los sentidos.

Sabe que tipode musica escuchan sus hjos. leamos y analicemos con ellos este caso.

prof. René Vidal.

HAZLO

Fue una sola palabra. Una sola palabra que oyó insidiosamente durante horas y horas. Una palabra que es como una orden, que crea una obligación, que mueve a la acción, que puede resultar para bien o para mal.

Esa palabra la escuchó, durante horas, un joven de catorce años de edad llamado Johnny Vance, de Nevada, Estados Unidos. La escuchó en una canción del grupo inglés de rock llamado Judas Priest.

La singular palabra era: «Hazlo». Y movido subconscientemente por esa palabra, Johnny Vance se pegó un tiro en la cabeza.

Este es otro de los sí­ntomas del mundo actual: canciones rock que contienen lo que llaman «mensajes subliminales». Se trata de palabras, repetidas muchas veces en medio de otras, que por su repetición, operando principalmente en el subconsciente, incitan a la acción.

Algunas de las palabras o frases así­ usadas, ademís de la ya mencionada: «Hazlo», son: «Vamos a morirnos», «Intenta suicidarte», «La muerte es buena» y «Satanís es tu amigo».

Una madre cuyos dos hijos, de diecisiete y diecinueve años, se suicidaron después de escuchar un tiempo al grupo Judas Priest, demandó a la compañí­a de discos ante la justicia. Pero la justicia liberal no condenó a la compañí­a.

Psicólogos y psiquiatras han dicho que una sola palabra en una canción, repetida continuamente de manera insidiosa, aunque vaya mezclada con otras palabras inocentes, puede afectar subconscientemente a la persona y llevarla a atentar contra su integridad moral y aun contra su vida.

LAS TARJETAS DE CRí‰DITO

«Buena es la vida cuando la vida es buena.» Esa era su consigna y su filosofí­a. Joven, de sólo diecisiete años de edad, buen mozo, atlético, elegante y con los bolsillos siempre llenos de dinero, Andrés Smith se dio el lujo de gastar sin medida en cualquier lugar donde estuviera.

Provisto de una tarjeta de crédito, viajó por toda Europa, siempre rodeado de amigos y amigas. No habí­a club nocturno ni playa popular que no visitara. Hasta que se descubrió la verdad. La tarjeta de crédito que tení­a era falsa. Así­ que condenaron a Andy, como lo llamaban sus amigos, a diez años de círcel, por fraude, en Londres, Inglaterra.

En realidad, ¿qué califica de buena a la vida? Muchos, al igual que Andy, creen que uno de los factores principales es poseer una buena tarjeta de crédito. ¿Acaso una buena tarjeta no le permite a uno viajar sin dinero en efectivo y darse los mayores gustos sin tener que hacer mís que presentar un pequeño rectíngulo de plístico? Claro que la tarjeta sólo debe usarse si es genuina, si se tiene el derecho de usarla y si hay fondos para pagar la deuda oportunamente. Porque si no hay con qué saldar la cuenta a tiempo, la tarjeta se presta para convertir en esclava del banco a la persona que la posee.

LA ENSEí‘ANZA DE LAS MATEMATICAS

Introducción

Las notas que siguen contienen una serie de observaciones personales sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemítica, que, por diversas razones que intentaré explicar, distan mucho de haber alcanzado una fase de estabilidad. En su conjunto, parece que la educación matemítica, por su propia naturaleza, como se indica en la Sección 1, deba ser uno de esos temas complicados que haya de permanecer en constante revisión. En la Sección 2 se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas ví­as menos deseables en las que la enseñanza matemítica se introdujo en un pasado reciente. La Sección 3 se dedica a apuntar algunas tendencias generales que señalan las lí­neas de trabajo mís llamativas en la actualidad. De estas tendencias se derivan de forma natural, por una parte algunos cambios en los principios metodológicos que deberí­an guiar la enseñanza y aprendizaje de nuestros dí­as, lo que se presenta en la Sección 4 ,y por otra cambios en los contenidos mismos de nuestra educación, mís acordes con las finalidades que hoy se pretenden, tal como queda explicado en la Sección 5. Finalmente la Sección 6 presenta unos pocos proyectos que, a mi parecer, serí­a deseable que nuestra comunidad matemítica fuese realizando para conseguir una educación mís sana y eficaz. La bibliografí­a al final del trabajo remite a unos pocos artí­culos clave, cuyas bibliografí­as extensas pueden servir como fuente de información mís profunda.

1.¿POR QUí‰ LA ENSEí‘ANZA DE LA MATEMí�TICA ES TAREA DIFí�CIL?

La matemítica es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotamios. Se consideró como un medio de aproximación a una vida mís profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la mís versítil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magní­fica guí­a del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos contemporíneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artí­stica, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemíticos de todos los tiempos,...

Por otra parte la matemítica misma es una ciencia intensamente dinímica y cambiante. De manera rípida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo mís lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemítica no puede ser una realidad de abordaje sencillo.

El otro miembro del binomio educación-matemítica, no es tampoco nada simple. La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo mís profundo de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas,...

La complejidad de la matemítica y de la educación sugiere que los teóricos de la educación matemítica, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinímica rípidamente mutante de la situación global venga exigiendo.

La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es la caracterí­stica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.

En la educación matemítica a nivel internacional apenas se habrí­an producido cambios de consideración desde principios de siglo hasta los años 60. A comienzos de siglo habí­a tenido lugar un movimiento de renovación en educación matemítica, gracias al interés inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemítico alemín Felix Klein, con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre Matemítica elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro paí­s ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemítica, su traducción al castellano.

En los años 60 surgió un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón que el empuje de renovación de aquél movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha traí­do consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema educativo en matemíticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy dí­a, podemos afirmar con toda justificación que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.

2. SITUACION ACTUAL DE CAMBIO EN LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS

Los últimos treinta años han sido escenario de cambios muy profundos en la enseñanza de las matemíticas. Por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en didíctica sigue realizando por encontrar moldes adecuados estí claro que vivimos aún actualmente una situación de experimentación y cambio.

El movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la matemítica moderna trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su talante profundo como en los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las principales caracterí­sticas del movimiento y los efectos por él producidos se pueden contar los siguientes:

- Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas íreas, especialmente en ílgebra.

- Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos.

- Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través de las nociones iniciales de la teorí­a de conjuntos y en el cultivo del ílgebra, donde el rigor es fícilmente alcanzable.

- La geometrí­a elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento. La geometrí­a es, en efecto, mucho mís difí­cil de fundamentar rigurosamente.

- Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometrí­a elemental tanto abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautologí­a y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el ílgebra puede ofrecer a este nivel elemental.

En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habí­an resultado muy acertados. Con la sustitución de la geometrí­a por el ílgebra la matemítica elemental se vació rípidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometrí­a de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada matemítica moderna superaron con mucho las cuestionables ventajas que se habí­a pensado conseguir como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las estructuras matemíticas, la modernidad y el acercamiento a la matemítica contemporínea...

Los años 70 y 80 han presentado una discusión, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias presentes, y luego una búsqueda intensa de formas mís adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemítica por parte de la comunidad matemítica internacional.

A continuación quisiera dirigir mi atención sucesivamente sobre los aspectos mís interesantes, a mi parecer, de esta búsqueda y de algunas respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educativo de la matemítica.

3. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES

3.1. Una consideración de fondo. ¿Qué es la actividad matemítica?

La filosofí­a prevalente sobre lo que la actividad matemítica representa tiene un fuerte influjo, mís efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseñanza matemítica. La reforma hacia la matemítica moderna tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemíticas. No es aventurado pensar a priori en una relación causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didíctico , como Dieudonn, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos quince años, especialmente a partir de la publicación de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976), Proofs and refutations, se han producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemítico.

La actividad cientí­fica en general es una exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en sentido amplio, como realidad fí­sica o mental. La actividad matemítica se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:

a) una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja

b) una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida

c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada

La antigua definición de la matemítica como ciencia del número y de la extensión, no es incompatible en absoluto con la aquí­ propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemítica en que el enfrentamiento con la realidad se habí­a plasmado en dos aspectos fundamentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometrí­a, estudio de la extensión). Mís adelante el mismo espí­ritu matemítico se habrí­a de enfrentar con:

- la complejidad del sí­mbolo (ílgebra)

- la complejidad del cambio y de la causalidad determiní­stica (cílculo)

- la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadí­stica)

-complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemítica)...

La filosofí­a de la matemítica actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemítica, especialmente tras los resultados de Gí¶del a comienzos de los años 30, para enfocar su atención en el carícter cuasiempí­rico de la actividad matemítica (I. Lakatos), así­ como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemítica en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemítica como un subsistema cultural con caracterí­sticas en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemíticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma mís o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemítica debe ser.

3.2. La educación matemítica como proceso de inculturación .

La educación matemítica se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemítico, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas caracterí­stica de la escuela en la que se entronca. Como vamos a ver enseguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseñanza y aprendizaje de la matemítica.

3.3. Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real.

En los años 80 hubo un reconocimiento general de que se habí­a exagerado considerablemente en las tendencias hacia la matemítica moderna en lo que respecta al énfasis en la estructura abstracta de la matemítica. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación operativa del espacio y de los mismos sí­mbolos. Es preciso no abandonar la comprensión e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemíticos. Si la matemítica es una ciencia que participa mucho mís de lo que hasta ahora se pensaba del carícter de empí­rica, sobre todo en su invención, que es mucho mís interesante que su construcción formal, es necesario que la inmersión en ella se realice teniendo en cuenta mucho mís intensamente la experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge. La formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histórica o a cada nivel cientí­fico, le corresponde su propio rigor.

Para entender esta interacción fecunda entre la realidad y la matemítica es necesario acudir, por una parte, a la propia historia de la matemítica, que nos desvela ese proceso de emergencia de nuestra matemítica en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemítica, que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se hace obvio cómo la matemítica ha procedido de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces fructuosas, otras estériles, hasta que va alcanzando una forma mís madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseñanza ideal deberí­a tratar de reflejar este carícter profundamente humano de la matemítica, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, interés y atractivo.

3.4. Los procesos del pensamiento matemítico. El centro de la educación matemítica.

Una de las tendencias generales mís difundidas hoy consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemítica mís bien que en la mera transferencia de contenidos. La matemítica es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicologí­a cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.

Por otra parte, existe la conciencia, cada vez mís acusada, de la rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de unos contenidos a otros. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo mís valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo cientí­fico e intelectual tan rípidamente mutante vale mucho mís hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rípidamente se convierten en lo que Whitehead llamó ideas inertes , ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinímicas, capaces de abordar los problemas del presente.

En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurí­sticas adecuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos problemas, mís bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia.

3.5. Los impactos de la nueva tecnologí­a.

La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales estí comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación matemítica primaria y secundaria adecuadamente, de forma que se aprovechen al míximo de tales instrumentos. Es claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, impreparación de profesores, hostilidad de algunos,... aún no se ha logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drísticas reformas. El acento habrí que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos matemíticos mís bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra situación actual, ocupan todaví­a gran parte de la energí­a de nuestros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrí a ser su preparación para el diílogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.

3.6. Conciencia de la importancia de la motivación.

Una preocupación general que se observa en el ambiente conduce a la búsqueda de la motivación del alumno desde un punto de vista mís amplio, que no se limite al posible interés intrí­nseco de la matemítica y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolución de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemítica, por otra, se han proporcionado.

Cada vez va siendo mís patente la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tener incluso en la vida de la mente en su ocupación con la matemítica. Es claro que una gran parte de los fracasos matemíticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción por parte de sus maestros. Por eso se intenta también, a través de diversos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento estético, el placer lúdico que la matemítica es capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo mís hondamente personal y humano.

En nuestro ambiente contemporíneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanización de la ciencia, a la despersonalización producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez mís necesario un saber humanizado en que el hombre y la míquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación matemítica adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.

4. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLí“GICOS ACONSEJABLES

A la vista de estas tendencias generales apuntadas en la sección anterior se pueden señalar unos cuantos principios metodológicos que podrí­an guiar apropiadamente nuestra enseñanza.

4.1. Hacia la adquisición de los procesos tí­picos del pensamiento matemítico. La inculturación a través del aprendizaje activo.

¿Cómo deberí­a tener lugar el proceso de aprendizaje matemítico a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemíticas, de modo parecido al que el matemítico activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de la parcela de la realidad de la que se ocupa.

Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemíticos que queremos explorar con nuestros alumnos. Para ello deberí­amos conocer a fondo el contexto histórico que enmarca estos conceptos adecuadamente. ¿Por qué razones la comunidad matemítica se ocupó con ahí­nco en un cierto momento de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un perí­odo de siglos? Es extraordinariamente útil tratar de mirar la situación con la que ellos se enfrentaron con la mirada perpleja con que la contemplaron inicialmente. La visión del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policiaca que aparece ya destripada desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de otra forma mís razonable podrí­a ser verdaderamente apasionante.

Normalmente la historia nos proporciona una magní­fica guí­a para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorí­as que de ellas han derivado,...

En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento directo de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemíticas en cuestión. Se pueden acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemíticas, a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentación de juegos tratables matemíticamente, de los que en mís de una ocasión a lo largo de la historia han surgido ideas matemíticas de gran profundidad, como veremos mís adelante.

Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemíticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.

Es claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la búsqueda con guí­a, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y aprendizaje de las matemíticas, así­ como la detección de técnicas concretas, de estrategias útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de su transmisión a los estudiantes.

La teorí­a, así­ concebida, resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho mís fícilmente asimilable. Su aplicación a la resolución de los problemas, que en un principio aparecí­an como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemítico eficaz y de una fuerte atracción hacia la matemítica.

4.2. Sobre el papel de la historia en el proceso de formación del matemítico.

A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemítica, deberí­a formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemítico en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este último, no sólo con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemítica, de lo cual suele estar también el matemítico muy necesitado.

La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones con genuina pasión por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuíntos de esos teoremas, que en nuestros dí­as de estudiantes nos han aparecido como verdades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teorí­a, después de haberla estudiado mís a fondo, incluido su contexto histórico y biogrífico.

La perspectiva histórica nos acerca a la matemítica como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas.

Desde el punto de vista del conocimiento mís profundo de la propia matemítica la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemítico técnico, como para el que enseña. Si cada porción de conocimiento matemítico de nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación, verí­amos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma pígina o del mismo pírrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales, complejos,... decenas de siglos de distancia hacia atrís, hacia adelante, otra vez hacia atrís, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni tampoco el orden didíctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor deberí­a saber cómo han ocurrido las cosas, para:

- comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemíticas, y a través de ello las de sus propios alumnos

- entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfoní­a matemítica

- utilizar este saber como una sana guí­a para su propia pedagogí­a.

El conocimiento de la historia proporciona una visión dinímica de la evolución de la matemítica. Se puede barruntar la motivación de las ideas y desarrollos en el inicio. Ahí­ es donde se pueden buscar las ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todaví­a con su sentido de aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz: Con respecto a todos los temas bísicos del cílculo infinitesimal... teorema del valor medio, serie de Taylor,...nunca se suscita la cuestión ¿Por qué así­ precisamente? o ¿Cómo se llegó a ello? Y sin embargo todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo objetivos de una intensa búsqueda, respuestas a preguntas candentes...Si volviéramos a los orí­genes de estas ideas, perderí­an esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volverí­an a tomar una vida fresca y pujante .

Tal visión dinímica nos capacitarí­a para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo:

- posibilidad de extrapolación hacia el futuro

- inmersión creativa en las dificultades del pasado

- comprobación de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción de la ambigí¼edad, obscuridad, confusión iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos...

Por otra parte el conocimiento de la historia de la matemítica y de la biografí­a de sus creadores mís importantes nos hace plenamente conscientes del carícter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento,... así­ como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofí­a, la matemítica, la tecnologí­a, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemíticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemítica suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.

Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigación matemítica como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones o a la enseñanza, la historia de la matemítica suele estar totalmente ausente de la formación universitaria en nuestro paí­s. A mi parecer serí­a extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseñamos se beneficiaran de la visión histórica, como he dicho arriba, y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama global del desarrollo histórico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras llega una situación razonable yo me atreverí­a a aconsejar:

- la lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness...)

- acudir, para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes originales, especialmente de los clísicos

- leer las biografí­as de los grandes matemíticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography

4.3. Sobre la utilización de la historia en la educación matemítica.

El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una baterí­a de historietas y anécdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino.

La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difí­cil del modo mís adecuado. Quien no tenga la mís mí­nima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemítico ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada del número complejo, se sentirí tal vez justificado para introducir en su enseñanza los números complejos como el conjunto de los pares de números reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones... . Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los números complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntarí muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y difí­cil de tragar, que sólo después de varios siglos de trabajo llegaron a tener.

Los diferentes métodos del pensamiento matemítico, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la geometrí­a analí­tica, el cílculo infinitesimal, la topologí­a, la probabilidad,... han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar.

La historia deberí­a ser un potente auxiliar para objetivos tales como:

- hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemíticas

- enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes,...

- señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente,...

- apuntar las conexiones históricas de la matemítica con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.

4.4. La heurí­stica ( problem solving ) en la enseñanza de la matemítica.

La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método mís invocado para poner en príctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación mencionado en el punto 4.1. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemítica los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.

Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situación desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto estín, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engañosa. También en un ejercicio se expone una situación y se pide que se llegue a otra: Escribir el coeficiente de en el desarrollo de .

Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección primero.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemíticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.

Se trata de considerar como lo mís importante:

- que el alumno manipule los objetos matemíticos

- que active su propia capacidad mental

- que ejercite su creatividad

- que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo cosncientemente

- que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental

- que adquiera confianza en sí­ mismo

- que se divierta con su propia actividad mental

- que se prepare así­ para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana

- que se prepare para los nuevos retos de la tecnologí­a y de la ciencia.

Cuíles son las ventajas de este tipo de enseñanza? Por qué esforzarse para conseguir tales objetivos? He aquí­ unas cuantas razones interesantes:

- porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestro jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas

- porque el mundo evoluciona muy rípidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos

- porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo

- porque muchos de los híbitos que así­ se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemíticas

- porque es aplicable a todas las edades.

¿En qué consiste la novedad? No se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestras clase de matemíticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espontínea los métodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:

exposición de contenidos -- ejemplos -- ejercicios sencillos -- ejercicios mís complicados -- ¿problema?

La forma de presentación de un tema matemítico basada en el espí­ritu de la resolución de problemas deberí­a proceder mís o menos del siguiente modo:

propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...) -- manipulación autónoma por los estudiantes -- familiarización con la situación y sus dificultades -- elaboración de estrategias posibles -- ensayos diversos por los estudiantes -- herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados) -- elección de estrategias -- ataque y resolución de los problemas -- recorrido crí­tico (reflexión sobre el proceso) -- afianzamiento formalizado (si conviene) -- generalización -- nuevos problemas -- posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas,...

En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí­ mismo lo que los grandes matemíticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos vílidos contra rí­gidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido....

En mi opinión el método de enseñanza por resolución de problemas presenta algunas dificultades que no parecen aún satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma príctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran, la componente heurí­stica, es decir la atención a los procesos de pensamiento y los contenidos especí­ficos del pensamiento matemítico.

A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atención primordial se centra en los aspectos heurí­sticos, puestos en príctica sobre contextos diversos, unos mís puramente lúdicos, otros con sabor mís matemítico. Algunas de estas obras cumplen a la perfección, en mi opinión, su cometido de transmitir el espí­ritu propio de la actitud de resolución de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupación con este tipo de actividad. Sin embargo creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por producir obras que efectivamente apliquen el espí­ritu de la resolución de problemas a la transmisión de aquellos contenidos de la matemítica de los diversos niveles que en la actualidad pensamos que deben estar presentes en nuestra educación.

Lo que suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisión de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que gira su enseñanza, los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el énfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los demís dí­as de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse para nada de lo que el viernes pasado practicaron. Serí­a muy necesario que surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos de nuestra educación matemítica.

De todos modos, probablemente se puede afirmar que quien estí plenamente imbuí­do en ese espí­ritu de la resolución de problemas se enfrentar de una manera mucho mís adecuada a la tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Por ello considero importante trazar, aunque sea someramente, las lí­neas de trabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparación en el tema.

4.5. Sobre la preparación necesaria para la enseñanza de la matemítica a través de la resolución de problemas.

La preparación para este tipo de enseñanza requiere una inmersión personal, seria y profunda. No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente.

A mi parecer esta tarea se realiza mís efectivamente mediante la formación de pequeños grupos de trabajo. El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de ventajas importantes:

- proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una misma situación-problema

- se puede aplicar el mtodo desde diferentes perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinímica

- el grupo proporciona apoyo y estí­mulo en una labor que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere

- el trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en otros

-el trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la príctica inicial adecuada son los siguientes:

- exploración de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolución de problemas

- príctica de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo

- exploración de las aptitudes y defectos propios mís caracterí­sticos, con la elaboración de una especie de autorretrato heurí­stico

- ejercicio de diferentes métodos y alternativas

- príctica sostenida de resolución de problemas con la elaboración de sus protocolos y su anílisis en profundidad

4.6. Diseño de una reunión de trabajo en grupo.

Me parece que puede resultar útil en este punto sugerir un posible diseño para una reunión de trabajo en grupo según un esquema que yo mismo he practicado en diferentes ocasiones con provecho razonable.

Un equipo de trabajo puede constar de cinco o seis personas. Se podrí­an reunir una vez por semana durante un buen perí­odo, como de un año. Una sesión tí­pica puede durar una hora y media. La sesión tiene dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente importante. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-prícticos del grupo.

Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo ha preparado mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto de naturaleza teórico-príctica, que podrí­a consistir, por ejemplo en el estudio de los bloqueos mentales de naturaleza afectiva. Lo expone en 20 minutos y se establece un perí­odo de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10 minutos.

Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en esta segunda parte como secretario, observador y seleccionador de problemas. Otra de ellas actuarí como moderador. Los papeles de los componentes del grupo serín desempeñados por turno en diferentes reuniones.

El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas que propone al resto. Es conveniente que sean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues aunque durante el proceso tendrí que actuar meramente como observador, al final deberí él mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el grupo.

Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el grupo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida aunque los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde el punto de vista de la motivación, que los problemas elegidos, por una parte, constituyan un verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de solución por el grupo.

La misión del secretario-observador, aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos mís importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución del problema. El es el encargado de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas han de ayudar muy sustancialmente para la reflexión final que ha de seguir a esta etapa de trabajo. En general, permanecer en silencio, cosa nada fícil de llevar a cabo, pero parece conveniente que intervenga en alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo para preguntar sobre el origen de una nueva idea de algún componente del grupo, que probablemente se alejarí­a de su memoria si se espera al perí­odo de reflexión al final del proceso.

Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cinco componentes del grupo uno actúa como moderador para esta reunión de trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión. La forma de proceder del grupo hacia la resolución del problema puede ser muy variada y serí­a conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija el que mejor se le adapta.

Lo verdaderamente importante es que se cree una atmósfera en el grupo libre de inhibiciones, libre de competitividad, en que cada uno est deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda parecer mís estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con gusto cómo los otros van perfeccionando las ideas propuestas por l. La tarea esencial del moderador es precisamente mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a callar demasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas ví­as cuando todo parece cerrado...

El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general:

- El grupo se familiariza con el problema.

- En busca de estrategias posibles.

- El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen mís adecuadas.

- El grupo reflexiona sobre el proceso que ha seguido.

En la bibliografí­a al final de estas notas se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de proporcionar una descripción mís detallada de esta forma de proceder.

4.7. Modelización y aplicaciones en la educación matemítica.

Existe en la actualidad una fuerte corriente en educación matemítica que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de las matemíticas no se realice explorando las construcciones matemíticas en sí­ mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y les siguen dando su motivación y vitalidad.

Tal corriente estí en plena consonancia con las ideas antes desarrolladas y parece como un corolario natural de ellas. La matemítica, como hemos visto, se origina como un intento por explorar, en su peculiar modo, las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creación del matemítico se realiza espontíneamente en este intento por dominar aspectos matematizables de la realidad. La educación matemítica deberí­a tener por finalidad principal la inculturación, tratando de incorporar en ese espí­ritu matemítico a los mís jóvenes de nuestra sociedad.

Parece obvio que si nos limitíramos en nuestra educación a una mera presentación de los resultados que constituyen el edificio puramente teórico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un lado sus orí­genes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales problemas, estarí­amos ocultando una parte muy interesante y substancial de lo que la matemítica verdaderamente es. Aparte de que estarí­amos con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización y las aplicaciones poseen.

4.8. El papel del juego en la educación matemítica.

La actividad matemítica ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones mís interesantes que en ella han surgido.

El juego, tal como el sociólogo J. Huizinga lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas caracterí­sticas peculiares:

- es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí­ misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar

- tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación

- el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego

- el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución

- el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio

- existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer

- el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican

- a través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armoní­a.

Un breve anílisis de lo que representa la actividad matemítica basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos estín bien presentes en ella. La matemítica, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el cientí­fico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemítica uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura.

Si el juego y la matemítica, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas caracterí­sticas en lo que respecta a su propia príctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos mís adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemíticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemítica.

Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teorí­a matemítica por definición implí­cita: Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas,... (Hilbert, Grudlagen der Geometrie)

Quien se introduce en la príctica de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemíticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teorí­a unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teorí­a matemítica.

Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas bísicos de la teorí­a que se hacen fícilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos del campo.

Una exploración mís profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel mís profundo y complejo que han requerido una intuición especial puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemíticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes mís creativas que estín ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las situaciones mís confusas y delicadas.

Mís tarde, en los juegos mís sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemíticas con los problemas abiertos de la teorí­a.

Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorí­as matemíticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemíticas y para revelar niveles de la realidad mís profundos que hasta ahora habí­an permanecido en la penumbra.

La matemítica y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemíticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigí¼edad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos mís modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,...

Del valor de los juegos para despertar el inters de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American: Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemítica o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frí­volas (Carnaval Matemítico, Prólogo).

El matemítico experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espí­ritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. Por qué no usar este mismo espí­ritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemíticas?

A mi parecer el gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en

TECNICAS DE ENSEí‘ANZA

La didíctica, en términos muy simples pero eficaz, es el “ arte de enseñarâ€�.

Factores esenciales de la didíctica:

• Anílisis del participante
• Edad
• Sexo
• Escolaridad
• Aptitudes
• Experiencias en la materia
• Motivaciones

Anílisis de la materia:

• Contenido temítico
• Unidades de instrucción
• Puntos clave (para ilustrarlos, para definir tiempo de la enseñanza)

Tí‰CNICA EXPOSITIVA

Descripción: es la técnica bañista en la comunicación verbal de un tema ante un grupo de personas.

Principales usos:

Para exponer temas de contenido teórico o informativo

Proporcionar información amplia en poco tiempo

Aplicable a grupos grandes y pequeños.

Desarrollo: el desarrollo de esta técnica se efectúa en tres fases:

Inducción: en donde el instructor presenta la información bísica que serí motivo de su exposición.

Cuerpo: en donde el instructor presenta la información detallada. Esta fase es en si misma el motivo de su intervención.

Sí­ntesis: en donde el instructor realiza el cierre de su exposición haciendo especial énfasis en los aspectos sobresalientes de su mensaje e intervención.

Recomendaciones:

No abusar de esta técnica.

Enfatizar y resumir periódicamente, lo que facilitarí la comprensión de su exposición por parte de los participantes.

Mantenerse en un lugar visible, dirigir la vista y la voz hacia todo el grupo.

Utilizar un lenguaje claro y con un volumen adecuado.

Utilizar ejemplos conocidos y significativos para los participantes.

DISCUSIí“N EN PEQUEí‘OS GRUPOS

Descripción: consiste en la formación de grupos de 4 a 10 personas con el fin de intercambiar experiencias, ideas, opiniones y conocimientos con el objeto de resolver un problema o situación conflictiva, tomar decisiones, buscar datos o simplemente adquirir conocimientos aprovechando los aportes de los participantes.

Principales usos:

Propiciar la creatividad y participación del grupo.

Aprovecha los conocimientos y la experiencia del grupo.

Estimula la reflexión y anílisis.

Desarrollo:

Presentación por parte del instructor del tema o problema a discutir e integración de los grupos.

Discusión y anílisis de los participantes del tema en cuestión.

Presentación de los aportes de cada uno de los grupos ante el resto de los participantes.

Resumen y conclusiones por parte del instructor.

Recomendaciones:

Habilidad para moderar la discusión, estimularla y no permitir que se desví­e.

Verificar que el tema a discutir sea de interés.

Procurar el anílisis de todos los aspectos del tema.

Evitar que un participante monopolice la discusión.

Tener tacto y paciencia para comprender y encausar las opiniones de los participantes.

No permitir que la discusión se extienda demasiado tiempo sobre el mismo tópico.

Orientar hacia el logro de objetivos.

 

EL Mí‰TODO DEL CASO

Descripción: consiste en que el instructor otorga a los participantes un documento que contiene toda la información relativa a un caso, con el objeto de realizar un minucioso anílisis y conclusiones significativas del mismo.

Principales usos:

Esta técnica se utiliza cuando los participantes tienen información y un cierto grado de dominio sobre la materia.

Estimula el anílisis y la reflexión de los participantes.

Permite conocer cierto grado de predicción del comportamiento de los participantes en una situación determinada.

Desarrollo:

Presentación del caso de estudio a fondo por parte del instructor con base en los objetivos, nivel de participantes y tiempo que se dispone.

Distribución del caso entre los participantes.

Anílisis del caso en sesión plenaria.

Anotar hechos en el pizarrón.

Anílisis de hechos:

El instructor orienta la discusión del caso hacia el objetivo de aprendizaje.

Se presentan soluciones.

El grupo obtiene conclusiones significativas del anílisis y resolución del caso.

Recomendaciones:

Es importante que el instructor no exprese sus opiniones personales de manera adelantada del caso.

Considerar que en algunos casos no existe una solución única.

Señalar puntos débiles del anílisis de los grupos.

Propiciar un ambiente adecuado para la discusión.

Registrar comentarios y discusiones.

Guiar el proceso de enseñanza con discusiones y preguntas hacia el objetivo.

Evitar casos ficticios, muy simplificados o en su defecto, muy extensos.

 

LECTURA DIRIGIDA

Descripción: consiste en la lectura de un documento de manera total, pírrafo por pírrafo, por parte de los participantes, bajo la conducción del instructor. Al mismo tiempo, se realizan pausas con el objeto de profundizar en las partes relevantes del documento en las que el instructor hace comentarios al respecto.

Principales usos:

íštil en la lectura de algún material extenso que es necesario revisar de manera profunda y detenida.

Proporciona mucha información en un tiempo relativamente corto.

Desarrollo:

Introducción del material a leer por parte del instructor.

Lectura del documento por parte de los participantes.

Comentarios y sí­ntesis a cargo del instructor.

Recomendaciones:

Seleccionar cuidadosamente la lectura de acuerdo al tema.

Calcular el tiempo y preparar el material didíctico según el número de participantes.

Procurar que lean diferentes miembros del grupo y que el material sea claro.

Hacer preguntas para verificar el aprendizaje y hacer que participe la mayorí­a.

 

LLUVIA DE IDEAS

Descripción: la lluvia de ideas es una técnica en la que un grupo de personas, en conjunto, crean ideas. Esto es casi siempre mís productivo que cada persona pensando por sí­ sola.

Principales usos:

Cuando deseamos o necesitamos obtener una conclusión grupal en relación a un problema que involucra a todo un grupo.

Cuando es importante motivar al grupo, tomando en cuenta las participaciones de todos, bajo reglas determinadas.

Desarrollo:

Seleccione un problema o tema, definiéndolo de tal forma que todos lo entiendan.

Pida ideas por turno, sugiriendo una idea por persona, dando como norma de que no existen ideas buenas ni malas, sino que es importante la aportación de las mismas.

Dele confianza al grupo, aunque en algunos momentos puede creerse que son ideas disparatadas.

Las aportaciones deben anotarse en el rotafolio o pizarrón.

Si existiera alguna dificultad para que el grupo proporcione ideas, el conductor debe de propiciar con preguntas claves como:

¿ Qué ?, ¿ Quién ?, ¿ Donde ?, ¿ Cómo ?, ¿ Cuando? ¿ Por qué ?

Identificar las ideas pertinentes. Una vez que se ha generado un buen número de ideas, éstas deben de ser evaluadas una por una. Luego se marcan para hacer fícil su identificación.

Priorizar las mejores ideas. Los participantes evalúan la importancia de cada aportación de acuerdo a los comentarios del grupo, pero tomando en cuenta el problema definido al inicio de la sesión.

Hacer un plan de acción. Una vez que se han definido las soluciones, es necesario diseñar un plan de acción y así­ proceder a la implementación de las soluciones.

Recomendaciones:

Es recomendable usarla al inicio del planteamiento de alguna sesión de trabajo.

Se puede integrar a otras técnicas como la expositiva, discusión en pequeños grupos.

La persona que coordine la actividad, debe de tener un amplio control del grupo y de alguna manera familiarizado con el problema, aunque no necesariamente.

 

DINAMICAS DE GRUPO

Con el propósito de lograr un ambiente agradable para el aprendizaje, se han desarrollado una serie de técnicas con el nombre genérico de “ Técnicas de Rompimiento de Tensión “ que tienen como finalidad:

Romper la tensión que lógicamente experimentan los participantes al inicio de un curso.

Facilitar la comunicación entre los participantes en sí­ y con el instructor. Que el instructor conozca a los participantes y se sienta mís seguro de sí­ mismo ante ellos.

Disminuir la agresividad o apatí­a que pudiera haber entre el grupo.

Lograr generar mís confianza entre los participantes para que puedan manifestar abiertamente sus ideas y sus dudas. Lograr un nivel de confianza adecuado para el desarrollo de cursos que requieren comunicación franca de problemas y sentimientos.

Las técnicas consisten en que los participantes y el instructor se presenten entre sí­, o den a conocer algunos aspectos de su vida desconocidos para los demís . En el caso de que ya se tenga un conocimiento previo, las técnicas pueden servir para profundizar en esta relación y otros fines especí­ficos. Entre las técnicas mís comúnmente podemos citar las siguientes:

a) Fiesta de presentación: consiste en que todos los participantes se pongan de pie y circulen libremente por el salón, presentíndose a todos y cada uno, estrechando la mano, diciendo su nombre, preguntando y respondiendo sobre temas de interés mutuo y terminando con alguna frase de cortesí­a como: “Mucho gusto en conocerte â€�, “Me da gusto que estemos juntos en este eventoâ€�, “ Espero que tengas éxito en el cursoâ€�, etc. Y eso es todo.

Esto no consume mís de 10 minutos, por lo que es aconsejable en el caso de que no se conozcan los participantes, el grupo sea superior a 30 personas y no se trate de un curso en que se requiera lograr un alto nivel de confianza inicial.

b) Presentación cruzada: en este caso, el instructor forma parejas de personas que de preferencia no se conozcan entre sí­.

Cada integrante de la pareja le comunica a su compañero los datos que el instructor haya indicado previamente, relativo a su persona, gustos, familia, aficiones, trabajo, profesión, etc., en un tiempo que puede fluctuar entre 2 y 10 minutos.

Después que esta fase se ha cumplido, cada miembro de la pareja presenta a su compañero ante todo el grupo, ya sea como invitado o tomando su lugar, esto es, presentíndose como si fuera su compañero, haciéndolo en primera persona; lo mismo harín todas las parejas constituidas. Para ello no debe emplear mís de 2 o 3 minutos, esta técnica termina con un aplauso para los que se presentan, porque genera emociones que deben ser recompensadas por presentarse como otra persona o al oí­r nuestros propios datos en boca de otros.

c) Binas y cuartetas: es muy semejante al anterior, pero tiene un paso mís que constituyen parejas y se dan información uno a otro durante 2 o 3 minutos por persona.

Al finalizar esta fase cada persona selecciona a otra pareja cualquiera, formando así­ cuartetas. En estas condiciones cada miembro presenta a su compañero ante la pareja seleccionada, poniéndose en su lugar.

Al finalizar la presentación de los cuatro integrantes, se lleva a cabo lo mismo que ya se señaló en la técnica Presentación Cruzada , presentíndose como si fuera su compañero ante todo el grupo.

d) Interrogatorio grupal: consiste en la formación de pequeños grupos integrados entre cuatro o seis personas, donde cada uno de sus miembros serí objeto de preguntas por parte de los demís, acerca de cualquier tópico relacionado con él mismo ya sea al azar o definidos con autoridad por el instructor.

El interrogatorio para cada uno de los miembros de estos pequeños grupos pueden variar entre 5 y 15 minutos, dependiendo de que tanta integración se quiera lograr, del tiempo disponible y del número de integrantes del grupo.

En consecuencia, la duración del ejercicio fluctúa entre 20 minutos y hora y media. Se puede completar el ejercicio por una segunda etapa, donde se dé a conocer a todos los participantes las impresiones generales del ejercicio.

Una caracterí­stica importante de este ejercicio es que cada participante esta en libertad de contestar o no a las preguntas que se formulen. En caso de que el entrevistado se niegue a contestar una pregunta lo harí con cortesí­a para no herir susceptibilidades y los demís integrantes del grupo deberín aceptar sin protestar.

e) Reglas del juego: con esta técnica se pretende que los participantes fijen un decílogo de reglas (aunque no necesariamente deben de ser 10 ), que regirí el desarrollo del curso durante las sesiones y para los fines que mantengan reunido al grupo.

Estas reglas pueden ser las siguientes:

Los integrantes del grupo se comprometen a participar activamente.

Se deberín respetar los horarios señalados para el curso con puntualidad y oportunidad.

Deberí haber absoluto respeto a la persona.

Se discutirí abiertamente las ideas.

Se comprometen los participantes a preguntar todo aquello que no se entienda.

Informalidad en el trato y en el vestir.

Hablar con honestidad y franqueza en todo momento.

Respetar el turno de la persona que esta hablando.

Aceptar la retroalimentación del grupo y del instructor.

El instructor basa su juicio sobre los medios verificando cual de ellos le permitirí realizar las tareas de capacitación de modo mís efectivo y económico.

Hace la mezcla mís exacta de medios y métodos para darle interés, llevar un ritmo adecuado y brindar una experiencia satisfactoria a los capacitandos, a la vez que se logran los objetivos del programa.

El instructor híbil planea con anticipación, sabiendo que del uso efectivo y selección de medios resultarí un óptimo aprovechamiento del tiempo.

 

SIEMPRE CON LA FINALIDAD DE COMPARTIR ARTICULOS VERDADERAMENTE INTERESANTES Y DE UTILIDAD PARA DOCENTES Y ESTUDIANTES, ADJUNTO ESTE MATERIAL EN DIAPOSITIVAS PARA QUE SI SE ENCUENTRA PLANIFICANDO EL TRABAJO DEL PROXIMO Aí‘O LO TOME EN CUENTA PARA PODER SER VISTO POR SUS ESTUDIANTES.

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PROF. RENE VIDAL

HUELLAS QUE NOS CONDENAN

Guillermo de Palma salió del trabajo y se encaminó hacia su hogar. Era casado y tení­a tres hijas. Al acercarse a la casa, vio varios automóviles parados frente a ella. Primero pensó que eran vendedores, pero luego se dio cuenta de que eran varios hombres que empuñaban pistolas.

Antes que pudiera reaccionar, los hombres lo rodearon y le dieron una orden de arresto.

â€�¿Qué pasa? ¿Qué estín haciendo? â€�les preguntó entre espantado y asombrado.

�Se le acusa de haber asaltado y robado el Banco Mercury de Buena Park �le contestaron.

Atado y esposado, Guillermo apenas pudo despedirse de su esposa e hijas. Lo hicieron subir a uno de los autos y lo llevaron a la círcel.

Posteriormente comenzó un largo juicio. Habí­a una sola evidencia contra él. En unos papeles que se hallaron en el banco después del robo, aparecí­a una huella digital que era la de él. De Palma aseguró, gritó, clamó mil veces que era inocente, pero la evidencia era irrefutable. Esa huella digital era indiscutiblemente suya. Así­ que lo condenaron a quince años de prisión.

Guillermo de Palma nunca dejó de luchar por demostrar su inocencia. En dos años gastó mís de veinte mil dólares. Eran todos sus ahorros mís el dinero que le prestaron algunos amigos. Por fin, tras tanto luchar, un detective privado pensó que tal vez habí­a habido una falsificación de huellas digitales, algo nunca antes ocurrido en la historia del crimen.

El detective pasó meses buscando pruebas y haciendo peritajes, hasta que descubrió que cierto individuo, pagado por los verdaderos ladrones, habí­a falsificado híbilmente las huellas digitales de Guillermo. El caso fue examinado minuciosamente y la inocencia de Guillermo de Palma quedó plenamente demostrada, así­ que el juez ordenó que lo pusieran en libertad.

¡Qué asombrosas son las huellas digitales! Ellas nos delatan, nos incriminan y nos condenan.

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